Геометрические построения. Угловой пропорциональный масштаб. Эллипсы. Розетки

Угловой пропорциональный масштаб — самый простой и удобный график для получения в заданной пропорции любых величин. На рис. 183 показан угловой масштаб для построения пропорций золотого сечения с коэффициентом 1,62 (о золотых числах см. выше). Для этого на двойном листке из тетради в клетку во всю его ширину и длину чертится прямой угол.

На одной стороне его откладывается отрезок величины круглого числа, например в 100 мм (еще лучше — 200 мм), на другой стороне — отрезок в 162 мм (или соответственно 324 мм). Концы полученных отрезков соединяются. В образовавшемся прямоугольном треугольнике любой отсек, очерченный с помощью прямой, параллельной одной из сторон, сохранит то же отношение катетов, т. е. 1,62.

Практически таким масштабным графиком пользуются следующим образом. Берут в раствор циркуля или измерителя тот отрезок, для которого нужно найти пропорцию, например отрезок А В (см. рис. 183). Не снимая острие измерителя с его точки В, перекидывают вторую его ножку к точке С и замеряют величину ВС.

Если нужно для большей величины определить ее меньшую в заданной пропорции, то сначала раствором измерителя находят нужный отрезок по горизонтали, далее в обратном направлении.

На графике может быть одновременно несколько разноцветных прямых с надписью коэффициента отношения сторон. Он удобен и для точного определения осей эллипса в заданном отношении, когда цифры дробные или вычисления многочисленны. Естественно, что угловой пропорциональный масштаб может быть применен и для увеличения в любом отношении несложного рисунка по его характерным точкам.

Рис. 183. Пользование угловым пропорциональным масштабом: отрезку АВ соответствует в пропорции данного графика отрезок ВС

Определение центра окружности. Один из способов для этого показан на рис. 184,а.» берут три точки (А, В, и С) на окружности, соединяют их в два или три отрезка и делят эти отрезки пополам с помощью перпендикуляра к ним. Пересечение перпендикуляров будет в центре окружности. Отрезки лучше брать близкими к диаметру окружности.

Второй способ (рис. 184,6) основан на том, что любой прямой угол, вершина которого находится на окружности, опирается на ее диаметр. Несколько таких прямых углов, построенных с помощью угольника, выявят центр окружности как пересечение гипотенуз прямоугольных треугольников.

Подобное построение удобно для определения центров на больших окружностях или на торцах цилиндров, например на спилах ствола дерева. Построение будет точнее, если гипотенузы треугольников пересекаются под углом, близким к прямому. В обоих случаях найденный центр окружности проверяется с помощью циркуля.

Рис. 184. Определение центра окружности: а — с помощью трех точек окружности; 6 — с помощью прямых углов

Сопряжения. Сопряжение двух полос разной ширины ясно из чертежа на рис. 185. Радиус внешней дуги задается или подбирается. Точки сопряжения прямой и дуги (во всех случаях) лежат на перпендикуляре, опущенном из центра дуги на прямую. Заметим кстати, что точки сопряжения двух любых дуг находятся на линии, соединяющей их центры.

Построение овалов. Замкнутая овальная кривая получается сопряжением дуг. Если овал задан его длиной, то построение лучше делать в пропорции золотого сечения, как показано на рис. 186, а: А В делится на четыре части, что дает центры O₁ и О₂ маленьких дуг. Центр О₃ для большой дуги получается засечками из О₁ и О₂ радиусом, равным О₁ О₂. Для построения более широкого овала АВ делится на три части.

Построение овала по его заданным осям приведено на рис. 186,6. Центры сопрягаемых дуг находятся на линии, проходящей через середину АЕ. Последовательность построения АЕ показана цифрами 1 и 2.

Овоид. Овал, имеющий одну ось симметрии, называется овоидом. На рис. 186 последовательность построения овоида обозначена цифрами 1, 2 и 3. Для более удлиненного овоида нужно отдалить центры дуг О₁ и О₂. Их положение подбирается по желаемому силуэту овоида.

Рис. 185. Построение сопряжения двух полос неодинаковой ширины	Рис. 186. Построение овала: а — в пропорции золотого сечения (1,62); б— по размерам заданных осей АВ и CD. Построение овоида

Построение контуров куполов и луковичной главы. Конструкция профиля различных типов куполов (рис. 187), особенно в форме луковичной главы (рис. 188), наиболее часто встречается в практике резьбы в виде наконечников и концовок. Первый вариант луковичной главы показан в упрощенном построении сопряжением двух окружностей. За модуль здесь принята десятая часть диаметра главы.

Два последних чертежа отличаются друг от друга величиной радиуса очерковой дуги при вершине главы, который в более простом варианте принят равным радиусу исходной сферы.

Во всех конструкциях луковичной главы прослеживаются пропорции золотого сечения.

Рис. 187. Построение очерков куполов	Рис. 188. Построение очерков луковичной главы

Рис. 189. Построение эллипса с помощью шнурка

Рис. 190. Построение точек эллипса по принципу эллипсографа

Рис. 191. Построение касательной к эллипсу и определение линии центра дуги на заданном участке эллипса

Построение эллипсов. Овал не всегда по силуэту устраивает резчика, более строгую форму дает эллипс. Один из простых способов его построения известен многим (рис. 189): обвод карандашом с помощью шнурка, концы которого закреплены за гвоздики или булавки, вбитые в точки фокусов эллипса F₁ и F₂. Длина шнурка равна АВ.

В практике резчика эллипс определяется отношением его осей. Фокусы в этом случае находятся так: из точки D с помощью циркуля радиусом АО (большая полуось) делают засечки на АВ, как показано на рисунке. Данный способ удобен для построения крупных эллипсов, а также, когда есть возможность забить в основу гвозди. Он дает, правда, иногда неточности из-за деформации шнурка и не всегда одинакового его контакта с грифелем.

Второй способ более универсален и не требует шнурка, гвоздей. Для этого (рис. 190) достаточно взять полоску или лист бумаги с ровным обрезом (можно для получения ровной кромки полоску согнуть вдоль). На ровной линии полоски вплотную к ее кромке делаются засечки: (1;2) = (АО) и (1;3) = (DO). Перемещая полоску по полю эллипса так, чтобы точки 2 и 3 находились на линиях осей или их продолжении, будем иметь последовательное перемещение точки 1 по линии эллипса.

На этом принципе основано устройство эллипсографа. Получаемые точки отмечаются карандашом, их можно соединить от руки или с помощью лекала. На практике удобнее построить точки только на четверти эллипса, а затем циркулем подобрать радиус для дуги, которая совпадает с большинством точек в крутой части эллипса (см. рис. 190), и также — второй радиус для ее пологой части. Полученные дуги немного не стыкуются. Эти участки доводятся от руки. Понятно, что радиусы, подобранные на четверти эллипса, определят полные дуги с обеих сторон эллипса. Симметрия и строгость кривой при этом гарантированы. Необходимое условие для такого построения (см. рис. 186 выше) —расположение осей точно под прямым углом друг к другу.

Для более точного приближения кривой к эллипсу можно использовать не две, а больше сопрягаемых дуг. Например, на участке стыка двух дуг, использованных для построения, можно провести третью (рис. 191). Для этого из точек 2 и 3 на данном участке эллипса (см. рис. 190) восстанавливаем к осям перпендикуляры и точку их пересечения (К) соединяем с точкой 1. На этой линии будет лежать центр дуги данного участка эллипса. Перпендикулярно к ней в точке 1 пройдет касательная к эллипсу.

Рис. 43. Рамка из липы. Портрет — акварель

Поскольку в некоторых случаях при обработке полученной в результате такого построения поверхности центры сопрягаемых дуг используются и их нужно сохранить, описанный способ имеет свои преимущества.

Отметим, что при определении внутреннего и внешнего очерка эллиптической рамы, как на рис. 43, приходится учитывать следующие факторы. Если взять ширину рамы одинаковой по всему периметру (рис. 192,а), то она не будет смотреться правильно построенной.

Также плохо воспринимается зрительно и рама, у которой коэффициенты соотношения осей во внешнем и внутреннем эллипсах одинаковы (рис. 192,6). Наиболее композиционно удачной выглядит рама (рис. 192,в), где для внешнего эллипса малой осью будет средний размер между малыми осями первого и второго случаев. Это приблизительно даст 8% уменьшения ее величины по отношению к первому случаю (а) или 8% увеличения по сравнению с малой осью второго случая (б).

Рис. 192. Силуэт эллиптической рамы с внутренним очерком в пропорции золотого сечения: а — при одинаковой ширине рамы по всему периметру: б — при одинаковом соотношении осей внешнего и внутреннего эллипсов; в — при усредненном соотношении осей эллипсов двух предыдущих случаев

Рис. 193. Построение цилиндрической винтовой линии. Развертка винтовой линии в гипотенузу прямоугольного треугольника

Цилиндрическая винтовая линия. Синусоида. Для построения цилиндрической винтовой линии (рис. 193) окружность и величина шага Н делятся на одинаковое число равных частей. Дальнейшее построение ясно из чертежа.

На практике удобно виток винтовой линии делать, огибая цилиндр прямоугольным треугольником, у которого один катет равен шагу винтовой линии, а другой — длине окружности, т. е. около трех диаметров окружности.

Для следующего витка бумажный треугольник смещается на величину шага и т. д. С целью проверки построения на цилиндре проводят ряд образующих цилиндрической поверхности, т. е. прямых, параллельных оси цилиндра (необязательно на равном расстоянии друг от друга). Длины отрезков всех образующих между витками винтовой линии должны быть одинаковы.

Винтовая линия на поверхности луковичной главы. Условимся считать винтовую линию на луковичной главе как траекторию движущейся по ее поверхности точки, когда поступательное движение точки вдоль оси главы пропорционально ее угловому смещению. Построим сначала винтовую линию (рис. 194) при условии, что точка за полный оборот главы совершит подъем на высоту Н главы.

Разделим высоту Н и окружность очерка главы на виде сверху на 12 частей. Обозначим исходное положение точки на главном виде и виде сверху буквой А, найдем другие ее положения. Построим на виде сверху 12 углов, связанных с вращательным движением точки, и 12 окружностей, связанных с теми сечениями главы, на которых последовательно будет находиться точка при ее поступательном перемещении (на чертеже показан пример с точками 2 и 8). Пересечение окружностей и соответствующих им линий углового перемещения зафиксируем на обоих видах. Точки соединим.

В практике резьбы по дереву наконечники в виде луковичной главы с витьем (см. рис. 165) делаются в несколько винтовых выступов (ниток) и впадин с большим углом подъема. Так, например, на рис. 195 показано построение винтовой линии, когда точка, образующая эту линию при поступательном перемещении на высоту главы, совершает вращательное движение на 1/4 оборота, на рис. 196 — на 1/6 оборота. Построение на этих рисунках принципиально остается таким же, как на рис. 194, но с той разницей, что на 12 частей делится не весь угол в 360°, а только его четвертая или шестая часть.

Количество выступов витья (ниток) при резьбе рассчитывается на целое число; так, на рис. 195 построены винтовые линии для трех выступов из полных 12.

Однако при резьбе винтовую линию для получения витья приходится строить непосредственно на модели, т. е. на куполе или луковичной главе. Для этого делается сначала чертеж в натуральную величину модели.

На самой модели, предназначенной для витья, проводится базовая линия (АС), лежащая в плоскости оси главы (рис. 197). На базовую линию АС переносятся деления с очерка главы на главном виде чертежа с замером каждой точки деления по вертикальной линии от плоскости основания главы. От полученных точек намечаются части окружностей — сечений главы по размеченным слоям.

На эти окружности с вида сверху переносятся угловые смещения точек винтовой линии по отношению к базовой линии. Каждый размер берется как хорда дуги соответствующего радиуса сечения. Полученные точки соединяются.

Остальные винтовые линии по числу выступов витья строятся аналогично. При этом после проведения всех базовых линий и нанесения на них всех точек горизонтальных сечений луковичной главы появляется возможность целиком провести окружности этих сечений и в дальнейшем проверку построения производить по равным интервалам на этих окружностях между винтовыми линиями.

Рис. 165. Венчающая часть резного изделия (фиала)
Рис. 194. Построение на луковичной главе правой винтовой линии на один полный оборот	Рис. 195. Построение на луковичной главе левой винтовой линии на 1/4 оборота (построение двух других линий не показано)
Рис. 196. Построение на луковичной главе левой винтовой линии на 1/6 оборота	Рис. 197. Перенос точек винтовой линии луковичной главы с чертежа на деревянную модель

Как вам поделка?